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Python

Python实现杨辉三角

杨辉三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡(1623—-1662)是在1654年发现这一规律的,比杨辉要迟393年,比贾宪迟600年。杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一,它把二项式系数图形化,把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来,是一种离散型的数与形的结合。
以下是杨辉三角的大概样子,n=5

昨天一直在看传智播客2018年的前端教程,昨天和今天也抽空研究了以下如何用Python实现杨辉三角。
杨辉三角有以下几点特性:
* 前提:每行端点与结尾的数为1.
* 每个数等于它上方两数之和。
* 每行数字左右对称,由1开始逐渐变大。
* 第n行的数字有n项。
* 第n行数字和为2n-1。
* 第n行的m个数可表示为 C(n-1,m-1),即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
* 第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ,为组合数性质之一。
* 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和,这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。
* (a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
* 将第2n+1行第1个数,跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线,这些数的和是第4n+1个斐波那契数;将第2n行第2个数(n>1),跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。
* 将各行数字相排列,可得11的n-1(n为行数)次方:1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……当n>5时会不符合这一条性质,此时应把第n行的最右面的数字”1″放在个位,然后把左面的一个数字的个位对齐到十位… …,以此类推,把空位用“0”补齐,然后把所有的数加起来,得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例,第十一行的数为:1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1,结果为 25937424601=1110。

本来无从下手,但是研究了一种Python解法终于实现:

def YangHui():
    a = [1]
    while True:
        yield a
        a = [sum(i) for i in zip([0] + a, a + [0])]

n = 0
for j in YangHui():
    print(j)
    n += 1
    if n == 2:
        break

下面,我来解释以下这段代码是什么意思:
首先,定义一个函数,然后定义一个列表,a = [1]
然后就是while循环,yield生成器就不多说了。下面的其实也不用多说,主要是这句话:

a = [sum(i) for i in zip([0] + a, a + [0])]

大家知道,sum是计算符号,而zip是打包列表的用法。但是我看了很久看不懂什么意思,直到我一步步推演:
1. a = [1]
2. a = [0,1]+[1,0] = [1,1]
3. a = [0,1,1]+[1,1,0]==[1,2,1]
4. a = [0,1,2,1]+[1,2,1,0]=[1,3,3,1]
5. a = [0,1,3,3,1]+[1,3,3,1,0]=[1,4,6,4,1]

这种解法非常巧妙,他利用zip打包两个数组,再利用2个0,错位相加,从而实现了杨辉三角,解题者非常聪明,而我却很笨,看了很久才明白。

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